WhyHey a écrit:corsario a écrit:WhyHey a écrit:tu as la formule théorique dans mon post : pas trop fatiguant
j'ai vu un calcul, mais je n'ai pas vu de formule
(mais j'ai peut-être mal cherché)
Si c'était possible d'avoir la formule y=f(x) avec y=proba d'avoir au moins un succès au hasard en fonction de x = nombre d'auditeurs, ceci dans le cas où la proba unitaire de succès pour un auditeur est de 1%, be my guest...
On pourra vérifier la formule en la superposant à ma courbe "expérimentale" ci-dessus
Si tu es chaud et en forme tu peux généraliser à y=f(x,p) pour une probabilité de succès unitaire
p quelconque
Merci
c'est la formule C(N,i)*p^i(1-p)^(N-i)
où N = Nombre total d'auditeurs
i= Nombre de succès parmi les N auditeurs
p= proba unitaire du succès (ici 1/2048 représentant 15 ou 14 bonnes réponses sur 15 tentatives en ABX)
N-i = Nombre d'echec
C(N,i) = combinaison du nombre de cas correspondant au nombre de choix possible de i auditeurs parmi N (= N!/(i!*(N-i)!))
comme dit plus haut la somme pour i de 0 à N vaut 1 (formule du binome).
Oui, c'est la loi binomiale de Bernoulli (mais c'est bien sûr !). Et en plus tu l'avais effectivement déjà donnée dans ton premier post
quelques pages auparavant, toutes mes excuses (et bravo).
Cette loi donne donc la probabibilité que la somme des succès sur N tirages ait une valeur donnée (ici i) :
on a donc pour le moment :
Prob(somme des succès sur N tirages=i) = C(N,i) * p^i * (1-p)^(N-i) où comme tu l'as dit p est la proba unitaire (1/100 ou 1/2048 suivant nos exemples).
Mais on veut avoir la proba B d'avoir au moins un succès. Donc, comme tu le disais déjà dans ton post, B c'est 1 - Prob(somme des succès sur N tirages=0) (c'est-à-dire tout sauf 0) : B = 1 - C(N,0) * p^0 * (1-p)^(N-0)
Et là ça se simplifie grandement :
B= 1 - (1-p)^NC'est effectivement ce que tu avais utilisé dans ton post précédent avec p=1/2048 (donc 1-p=2047/2048) et N=5 tirages : 1- (2047/2048)^5 = 0.002439
Et c'est aussi la courbe que j'ai tracé hier, qui est donc tout simplement
y= 1 - (1-p)^N avec p=1/100 (voilà la réponse que j'attendais, mais bon, on ne va pas chipoter). (En attendant que je superpose les 2 courbes pour vérifier, on peut déjà vérifier simplement que pour N=20 on retrouve avec cette formule B=18.2 comme sur ma courbe)
Merci Bernoulli et merci Whyhey, voilà qui va nous économiser du temps !
(Sinon, c'est amusant, hier j'avais donc vérifié "expérimentalement" la loi de Bernoulli).
Application : imaginons qu'il y a ait dans le monde 10000 tarés qui font 10 ABX tous les jours pendant 10 ans juste pour avoir des faux positifs. Quel ABX faudrait-il réussir pour qu'il ait moins de 1% de chance de se produire au hasard parmi ces tarés (qui auront fait en tout 365000000 tests).
On veut B = 1 - (1 - p)^ 365000000= 0.01, soit (1 - p)^ 365000000=0.99, soit p=1-0.99^(1/365000000)
On trouve p= 2.7535166721542663964058609786853e-11, soit une chance sur 36317194303
(on aurait aussi pu faire une approximation et un développement limité en approximant (1 - p)^ 365000000 = 1 - 365000000*p, on trouvait alors directement que si on veut avoir moins de 1 chance sur n, il faut faire un ABX avec 1 chance sur 365000000*n, ici 36500000000 (qui est effectivement une bonne approximation de 36317194303).
Avec cette proba, si une personne réussit le test ABX, ça sera dur de dire que c'est par chance (il aurait fallu se mettre à 10000 et faire 10 tests par jours tous les jours pendant 10 ans pour avoir plus de 1% de chance d'enfin réussir ce test par hasard).
Alors maintenant à quel ABX cela correspond-il ? Simplement réussir un ABX avec 35 succès sur 35 essais (1 chance sur 34359738368, c'est quasiment ce qui était requis pour égaler la proba que les tarés réussissent par hasard).
En résumé, si on requiert un ABX de 35/35, même si une seule personne le réussit parmi 5 testeurs, on peut affirmer que cet ABX est quasi sûr et certain (car ce n'est pas 5 testeurs qu'il aurait fallu pour avoir 1% de chance de réussir cet ABX par hasard, mais 365000000).
Allons plus loins. Si on est parano, et qu'on veut qu'il y ait moins de 1 chance sur 100000 que la secte des tarés réussissent l'ABX par hasard, alors il faut réussir un ABX de 1 chance sur 100000*365000000 (j'utilise la formule simplifiée par la développement limité), c-a-d un ABX de 45/45, ce qui reste encore tout à fait faisable !
Et on a là on a la réponse à la question :
Mais quel ABX faut-il réussir pour qu'il s'impose à tout le monde même si une seule personne l'a réussi ? Réponse : 45/45.Au boulot maintenant
Créé le 29 Jan 2010 0:03
