Longueur de la spirale du CD (résolu Mathématiquement)

[sax.tenor]

Bonjour,

quelqu'un pourrait-il me guider pour le calcul de la longueur (pas de l'aire) du tracé d'une spirale d'Archimède (un sillon de disque)? C'est -sauf erreur- un calcul intégral. J'ai quitté tout cela il a fort longtemps… J'ai repris pour mon plaisir et pour ne pas sécher en soutien scolaire en maths et sciences, heureusement d'un niveau limité à la 3ème et 2nde.

Sinon, je procéderai par approximation avec une série de cercles de rayon en progression arithmétique. Ca, je sais (encore) faire malgré les années qui passent.

Merci

Edit le 20 avril avec la solution :

Le plus simple était de contacter mon frangin (MERCI à lui), pas rouillé du tout , et ravi de rajeunir de xx années . Il s'agit bien d'une intégrale ∫ .

Ma gêne était (partiellement) due à la superposition de deux notions sous le même nom: le "pas" A d'une spirale que j'exprime en mm ; ce qui est la progression du rayon pour chaque rotation (2 PI radian), et le pas angulaire a qu'on exprime en mm/rd (radian) qui est la même valeur rapportée au radian

a = A / 2 PI

Une spirale d'Archimède est caractérisée par r = a x Theta

La longueur de la spirale est L = ∫ dl entre les bornes 1 et 2 (rayon mini et rayon maxi)

Pour un pas angulaire de a, on a d (THETA) = d r / a Il vient : L = ∫ r x dr / a entre les rayons mini r1 et maxi r2

Ce qui donne (ce n'est vraiment pas compliqué pour celui "qui est passé par là") : L = (r2xr2 - r1xr1) / 2a

Cas particulier : la spirale est un cercle; a = cste et dans ce cas, l'intégrale de la "longueur" devient L = 2 PI r C'est pas beau les maths ?

Ce qui est jouissif est que mon approximation d'une suite de cercles concentriques "matches" à 100,0 % du fait que le pas de la spirale est faible rapporté aux diamètres.

Je me suis amusé à multiplier le pas de la spirale par 1000 et j'ai comparé les deux résultats qui ne diffèrent que 4 %.

Pour les "forcenés", j'ai calculé le "trajet" disponible pour graver 16 kHz sur un 33 tours. Je garde mes CD.

Calculs à votre disposition.

[vdl1]

bonjour, j'ai griffoné rapidement un calcul, mais je ne suis pas sur que ça corresponde à ce que tu cherches (ni que ce soit juste).
[img]
https://zupimages.net/viewer.php?id=20/14/d3de.jpg
[/img]

r=rayon disque
n= nb tours

[sax.tenor]

Merci d'avoir pris le temps de répondre. Je ne sais pas ce qui se passe à l'avant dernière ligne, première colonne.


En fait je cherche l'équivalent pour la spirale du périmètre pour le cercle. Ce que certains élèves doivent nommer "LONGUEUR" (sic) comme indiqué dans leur livre de maths, et qui est finalement plus général et approprié pour une figure ouverte. Pour dire autrement, ce serait le chemin idéalement parcouru par le laser entre le premier bit lu proche du centre du CD, et le dernier situé à la fin de la spirale, la plus éloignée du centre.

Nous utilisons ici les coordonnées polaires, est-ce que les intégrer ne revient pas à calculer une aire (je suis perdu)?

Quelle est la définition de a ? N'est-ce pas la distance au point de départ de la spirale? Dans ce cas, pour chaque rotation complète (soit 2 PI), il progresse de p, p étant le pas constant de la spirale.

a(THETA) = a0 + p x TETHA/ (2 PI)

J'avais envisagé les projections x, y en sin et cos, ou bien partir d'une formule (que je n'ai pas trouvée) analogue à celle du cercle x2 + y2 = r2 …

Le plus simple est sans doute de générer une suite de n cercles dont les rayons progressent de p. p étant faible devant r0, l'erreur sera faible. Et la suite arithmétique, comme j'ai dit, j'y arrive encore

Bon, si tu as encore de la patience et du temps...

[danieln70850]

faire une recherche sur la formule utilisée par les papetiers
pour connaitre la longueur de film ou papier sur une bobine .
nécessaire au depart d'avoir petit diametre , grand diametre
et epaisseur ( du sillon !)
formule toute bête , éloignée de ce qui précède , mais oubliée depuis un moment .
sinon :
http://origin-www.europe.fasson.com/fre ... nForm&UL=2

[sax.tenor]

Merci c'est très efficace, mais hélas, c'est une "boite noire". Comment ça marche ????

En tout cas, je peux déjà m'amuser avec.

Un CD est gravé sur un diamètre entre 45 et 116 mm. Les bit sont des cavités dont la longueur varie entre 0,833 et 3,56 µm, et dont la largeur est de 0,6 µm) selon WIKI.

Je tâtonne.
1/Pour un pas de spirale de 5 microns; la longueur de la spirale est (environ) 1800 m (de mémoire, cela me semblait plus élevé).
16 bits, 45 000 fois par seconde, au maximum une durée de 1h20. Je ne compte pas les bit de parité et d'horloge.

Cela voudrait dire un espace inter bit (en ligne) de 0,6 micron. Cela parait trop faible comparé à la plus petite gravure. Je vais diminuer le pas et chercher sur le web.. J'ai du temps, et pas de motivation pour autre chose

2/ Pour un pas de spirale de 0.8 microns; cela veut dire que le pas est plus petit que la gravure la plus petite ???? le suivi de l'horloge est primordial (merci à la mémoire tampon). Dans ce cas, la longueur de la spirale est (environ) 11 000 m, plus conforme à ce que j'ai en mémoire.
Avec le même "raisonnement" que dans 1/, l'espace inter bit serait de 3.5 micron; c'est à dire de l'ordre de la plus grande gravure.

Je vais encore y réfléchir, et chercher sur internet, mais vous êtes les bienvenus pour contredire ou compléter…

Edit: voilà, je viens (enfin) de trouver ceci (ci-dessous) qui contredit mes premières hypothèses… A suivre !

[vdl1]

Merci d'avoir pris le temps de répondre. Je ne sais pas ce qui se passe à l'avant dernière ligne, première colonne.


En fait je cherche l'équivalent pour la spirale du périmètre pour le cercle. Ce que certains élèves doivent nommer "LONGUEUR" (sic) comme indiqué dans leur livre de maths, et qui est finalement plus général et approprié pour une figure ouverte. Pour dire autrement, ce serait le chemin idéalement parcouru par le laser entre le premier bit lu proche du centre du CD, et le dernier situé à la fin de la spirale, la plus éloignée du centre.

Nous utilisons ici les coordonnées polaires, est-ce que les intégrer ne revient pas à calculer une aire (je suis perdu)?

Quelle est la définition de a ? N'est-ce pas la distance au point de départ de la spirale? Dans ce cas, pour chaque rotation complète (soit 2 PI), il progresse de p, p étant le pas constant de la spirale.

a(THETA) = a0 + p x TETHA/ (2 PI)

J'avais envisagé les projections x, y en sin et cos, ou bien partir d'une formule (que je n'ai pas trouvée) analogue à celle du cercle x2 + y2 = r2 …

Le plus simple est sans doute de générer une suite de n cercles dont les rayons progressent de p. p étant faible devant r0, l'erreur sera faible. Et la suite arithmétique, comme j'ai dit, j'y arrive encore

Bon, si tu as encore de la patience et du temps...

j'utilise en effet les coordonnées polaires, et le fait que la longueur d'un petit arc de longueur d(theta) est pho*d(theta), où pho est la distance au centre, qui varie de manière affine avec l'angle theta.
a est le rayon du disque
n le nombre de tours, qui est un paramètre que je ne connais pas non plus, tu peux peut être le calculer en fonction d'autres paramètres
le calcul que tu n'as pas compris est celui d'une somme de n termes, n étant le nombre de tours

[sax.tenor]

j'utilise en effet les coordonnées polaires, et le fait que la longueur d'un petit arc de longueur d(theta) est pho*d(theta), où pho est la distance au centre, qui varie de manière affine avec l'angle theta.
a est le rayon du disque
n le nombre de tours, qui est un paramètre que je ne connais pas non plus, tu peux peut être le calculer en fonction d'autres paramètres
le calcul que tu n'as pas compris est celui d'une somme de n termes, n étant le nombre de tours

Oui je connais SIGMA; mais je n'ai pas compris la simplification en avant-dernière ligne.

Entre temps (l'accès au forum était bloqué chez moi) j'ai trouvé les faits, j'aurais préféré que ce soit des résultats de calculs. Si tu as envie, tu peux utiliser certains paramètres pour poursuivre ta démonstration que j'ai partiellement suivie.

https://www.commentcamarche.net/contents/736-cd-cd-audio-et-cd-rom#la-geometrie-du-cd

Le nombre de tours sera : 22188 (*)
L'écart entre les tours de la spirale est 1,6 micromètre




En utilisant le calculateur indiqué par danieln70850 (merci! ) avec mes paramètres (discutables, mais utilisés comme base réflexion), l'intercalaire entre deux bit serait de 1,8 micromètres, ce qui est bien supérieur (**) à deux bit mis à zéro (2x830 nm). Bon c'est approximatif, et chacun peut ajouter son grain de sel. Bonne soirée

(*) l'information est stockée sur 22188 pistes gravées en spirales (il s'agit en réalité d'une seule piste concentrique).
D'après le standard EFM (Eight-to-Fourteen Modulation), utilisé pour le stockage d'information sur un CD, (**) il doit toujours y avoir au minimum deux bits à 0 entre deux bits consécutifs à 1 et il ne peut y avoir plus de 10 bits consécutifs à zéro entre deux bits à 1 pour éviter les erreurs.

Merci pour l'aide en tout cas

[vdl1]

en fait k varie entre 1 et n (j'ai corrigé la première pas la deuxième), j'ai coupé la somme en deux : la première est une somme de n termes égaux à a*2*pi² et la deuxième 4 pi² fois la somme des k (qui vaut n(n+1)/2).
pour l'application à tes cd/dvd, je n'ai pas trop le temps de regarder, have fun !

[sax.tenor]

OK. Bonne soirée. Bon, à présent j'écoute un SACD (Mendelssohn concerto piano opus 25)

[danieln70850]

longueur de sillon 14963 metres ( pour 0.6 micron )

[sax.tenor]

longueur de sillon 14963 metres ( pour 0.6 micron )

En fait la distance entre les spires de 1,6 microns (selon image postée plus haut) donne 5611 m avec la moulinette en ligne.

[danieln70850]

et quelle est la finalité ?

[sax.tenor]

et quelle est la finalité ?

Eh bien, il faut que j'occupe ce qui me tient lieu de cerveau confiné en ce moment ! C'est de la curiosité, une petite démarche volontaire et éventuellement auto gratifiante. Par exemple, j'ai démythifié la boite noire AVERY (je n'ai vérifié qu'une fois mon fichier EXCEL terminé). Donc cette boîte noire procède comme je comptais le faire si je ne me sortais pas du calcul propre de la longueur de la spirale (je ne m'en suis pas sorti, effectivement).

Comme le pas de la spirale est très faible comparé au diamètre 1,6 microns pour 45 mm au minimum (soit 1/2800), j'assimile la spirale à une suite de cercles concentriques de progression arithmétique. Ce procédé est acceptable pour évaluer cette longueur "inconnue". Et là, c'est le bonheur, cet algèbre (à ce niveau), c'est un peu ma deuxième langue

J'ai donc écrit tout cela dans un fichier EXCEL et retombe exactement sur les valeurs de AVERY. Ensuite, je suis allé plus loin pour évaluer la vitesse de rotation en début de lecture, juste pour mon plaisir et ceux qui voudraient discuter partager là-dessus. Voilà

PS: il vous manque le nom des colonnes et des lignes, mais vous trouverez facilement, j'en suis convaincu.


Au passage, on retrouve les 22188 spires

https://www.commentcamarche.net/contents/736-cd-cd-audio-et-cd-rom#la-geometrie-du-cd

Le nombre de tours sera : 22188 (*)

(*) l'information est stockée sur 22188 pistes gravées en spirales (il s'agit en réalité d'une seule piste concentrique).
D'après le standard EFM (Eight-to-Fourteen Modulation), utilisé pour le stockage d'information sur un CD, (**) il doit toujours y avoir au minimum deux bits à 0 entre deux bits consécutifs à 1 et il ne peut y avoir plus de 10 bits consécutifs à zéro entre deux bits à 1 pour éviter les erreurs.

[itofa]

Bon je vais prendre un Doliprane, moi ...

[CaptainFLM]

Merci pour ce sujet très stimulant! Ça me rappelle les sujets de concours aux grandes écoles