Harmonie, modes, tonalité...

[SoulMan]

Je vais essayer de refaire en prennant les vraies valeurs...

Si on se base sur les harmoniques pures dont voici les rapports de fréquences:

Code: Tout sélectionner

Unisson     Do   1/1
Ton mineur  Re   10/9
Tierce M    Mi   5/4
Quarte      Fa   4/3
Quinte      Sol  3/2
Sixte M     La   5/3
Septieme M  Si   15/8
Octave      Do   2


Partont sur notre Do4 auquel on va arbitrairement (pour simplifier) attribuer une fréquence de 1
Do4 = 1
Sa quinte naturellement en harmonique, Sol4, est donc 1*3/2=1,5
le Do5 lui, est la tierce du Sol4, donc Do5=1,5*5/4=1,875
Donc, déjà il n'y a pas besoin d'aller plus loin pour voir que la succession des harmoniques naturelles ne correspond pas aux notes données par un quelconque tempérament puisque la tierce de la quinet n'est pas égale à l'octave (qui aurait du être de 2).
Ma reflection sur ce point est que, maintenant qu'on a des outils informatiques, on pourrais envisager l'existance de tempéraments dynamiques aux valeurs fluctuantes. Et le premier tempérament dynamique qui me vient à l'idée serait celui qui n'utiliserait, comme déjà dit, que des rapports d'harmoniques naturelles entre les différentes notes successivement jouées.
Donc, dans cet hypotétique tempérament naturel dynamque :
- si on joue Do4, Do5 : on arrive à un Do5 = 2*Do4
- si on joue Do4, Sol4, Do5 : on arrive à un Do5 = 1,875*Do4
Je pense que ce genre de tempérament ne serait pas dénué d'intérêt, hormis le fait qu'il se limiterait aux instruments MIDI, il ouvrirait de nouveaux champs de recherche dans la composition.
Bien sur, rien n'empécherait la création de tempéraments dynamques basés sur d'autres principes de calcul plus sophistiqués.

[haskil]

Par ailleurs, dès qu'on s'écarte des instruments à clavier qui ne font pas la différence entre les dièses et les bémols, et qu'on va du cote des instruments où la hauteur de la note dépend directement de celui qui joue et la produit (un violoniste par exemple), d'un coup dièses et bémols ne sont plus les mêmes notes...

Même si Saint-Saêns à pu dire : "tous les violonistes jouent faux, mais certains exagèrent" , il faut je crois mette de coté les instruments dont les notes sont fixes et sur lesquelles l'instrumentistes ne peut pas "jouer" (sur le clavicorde on peut un peu... car on peu faire du vibrato sur cet instrument), soit piano, clavecin, orgue, de tous ceux qui permettent à l'instrumentiste de produire la hauteur de la note.


Alain

[haskil]

Ah, il me semblais avoir compris que l'adoption du tempérament égal découlait des besoins dictés par la polyphonie (et par le contrepoint).

Surtout des besoins dictés par le besoin de moduler dans des tonalités parfois éloignées.

Car Bach, empereur de la fugue, était déjà un anachronisme de son vivant : il a en quelque sorte mis un splendide point d'orgue à l'art de la polyphonie à l'ancienne (dont on dit qu'elle est née à Notre Dame de Paris avec Perotin).

Ca ne veut pas dire que l'écriture polyphonique a été abandonnée, mais elle n'a plus été un objet en soi et a investi la musique comme un des éléments du langage.

Et est revenue au premier plan avec la première période néoclassique avec Mendelssohn qui composait des préludes et fugues, par exemple (il y avait aussi quelques compositeurs mineurs, notamment organistes, qui ont continué par admiration pour Bach, en france notamment), et avec certains romantiques tels que Schumann, puis avec saint-Saens (imitation de Bach dans Samson et dalila), Brahms, puis avec Berg, etc.


Je crois surtout que le tempérament égal a surtout permis de moduler dans tous les tons. Ce qui était impossible auparavant et a permis à l'harmonie, la science des accords, de prendre le pas sur la polyphonie et la monodie de la musique modale. Les deux restant possibles et co existant : il est intéressant de voir qu'au milieu du XIXe siècle à Paris, l'Ecole Niedermeyer remettait le grégorien et les modes au premier plan de son enseignement : fauré sort de la dedans. Et Chopin s'est plusieurs fois affranchi de la tonalité au sens strict pour produire des oeuvres dans lesquelles on pourrait se passer d'armature à la clef pour écrire en notes réelles. Fauré avec ses doubles bémols dans le 6e Nocturne ne facilité pas la lecture : du reste quand on connait l'oeuvre on lit avec ses oreilles et plus avec les yeux !


Alain

[GBo]

Je vais essayer de refaire en prennant les vraies valeurs...

Si on se base sur les harmoniques pures dont voici les rapports de fréquences:

Code: Tout sélectionner

Unisson     Do   1/1
Ton mineur  Re   10/9
Tierce M    Mi   5/4
Quarte      Fa   4/3
Quinte      Sol  3/2
Sixte M     La   5/3
Septieme M  Si   15/8
Octave      Do   2


Merci de ces précisions Soulman, maintenant je comprends pourquoi on ne se comprenait pas
Avant d'aller plus loin, j'ai un gros doute sur ton tableau des "harmoniques pures"!
Prenons le ré par exemple:
Les harmoniques pures correspondent à la multiplication par un nombre entièr de fréquence de la fondamentale (j'insiste ).
Si "1" est ton do, on aura donc des harmoniques de fréquence "2", "3", "4", "5", "6" etc...

NB: en fait sur un piano cette approche des modes de vibration de corde idéale est assez vite inexacte car puisqu'on diverge du modèle (c'est la physique des cordes en acier très raides qui veut ça), c'est en fait plutot "2.00", "3.01", "4.02", "5.04" etc...(je donne les valeurs au pif, c'est pour l'idée).
Bref dans la suite supposons pour simplifier une note parfaitement harmonique (mais là il y a débat déjà, puisque le modèle mathématique "Nxfrequence" ne s'applique suivant les instruments qu'en première approximation et qu'aux premières harmoniques, et ce n'est pas rien puisque les accordeurs en tiennent compte!).

Le premier ré que j'obtiens par les harmoniques d'une corde idéale est l'harmonique N°9 (en notant la N°1 la fondamendale, par la convention usuelle).
Pour le ramener au même octave que le do initial, je suis obligé de le diviser une première fois par 2 (=>ré à l'octave du dessous), puis une nouvelle fois, puis une troisième fois...
Le ré obtenu à la fin est de ((9/2)/2)/2 = 9/8.
Je ne vois pas cette valeur sur ton tableau, de quel système s'agit-il en vert?

Note que pour le ré, Pythagore arrive à la même valeur que par "ma" méthode, en faisant 2 quintes moins une octave:
(3/2 * 3/2)/2 = 9/8.
Car il ne jurait que par l'empilement de quintes 3/2, Pythagore, pour génerer des notes! là, pour le ré (ainsi que le sol et le do à l'octave) ça tombe bien avec la nature d'une corde idéale, mais sinon c'est un système arbitraire, pas si naturel que ça! sans compter qu'il ne tombe pas juste à la douzième quinte...

Partont sur notre Do4 auquel on va arbitrairement (pour simplifier) attribuer une fréquence de 1
Do4 = 1
Sa quinte naturellement en harmonique, Sol4, est donc 1*3/2=1,5
le Do5 lui, est la tierce du Sol4, donc Do5=1,5*5/4=1,875
Donc, déjà il n'y a pas besoin d'aller plus loin pour voir que la succession des harmoniques naturelles ne correspond pas aux notes données par un quelconque tempérament puisque la tierce de la quinet n'est pas égale à l'octave (qui aurait du être de 2).

Non, un octave c'est une quinte + 1 quarte, et là le tableau de pythagore (ainsi que le tien) marche bien: 3/2*4/3 = 2.
Mais si ça trouve, la quarte a été défine par ce rapport JUSTEMENT pour coller à la loi quinte+quarte = octave!
Car si je prends une quarte issue d'harmonique naturelle, je ne suis pas du tout sûr que l'on tombe sur 4/3... L'harmonique N°11? pas vraiment ça en tout cas!
=> question: jusqu'où faut-il monter en harmonique naturel idéaux pour avoir un fa qui ressemble à peu près à un fa?
Voici le début de la série:

(Légende: harmoniques "idéaux" en rouge versus notes à tempéraments égaux en vert).
Les 3 premiers points rouges correspondent respectivement à do, do , sol

Ce thread est intéressant parce qu'il nous permet de se poser les questions que se sont posées les "anciens".

cdlt,
GBo

[SoulMan]

Merci Alain pour toutes ces précisions.

GBo, j'ai péché ces chiffres quelque part sur le Web, cela dit, même s'ils ne sont pas bons, et que j'ai fais une grossiere erreur, le raisonnement, lui, reste valide. (en prenant d'autres rapports que la quarte et la quinte si nécessaire).

Ce soir je vous copierai un schémas qui montre les "niveaux" d'harmonie entre les différentes fréquences tout au long d'une même octave, c'est très intéressant.

[ThP]

Pour moi la progression de fréquence est logarythmique (à ma connaissance, je ne suis pas matheux pour l'expliquer...mais pour moi c'est comme ça que se calculent les frequences.)
Une octave est divisée en 12 demi tons.
On double la frequence à chaque octave (donc tous les 12 demi tons)
Donc pour augmenter d'un demi ton il faut multiplier par racine 12° de 2 (env. 1,05946)
(à droite j'ai rajouté la valeur selon les "fractions)

A= 220,00
b= 233,08
B= 246,94
C= 261,63
#= 277,18
D= 293,66 (290,70)
b= 311,13
E= 329,63 (327,03)
F= 349,23 (348,83)
#= 369,99
G= 392,00 (392,44)
#= 415,30
A= 440,00 (436,04)

[GBo]

Oui Thp mais ça c'est les points que j'ai representé en vert, à tempéraments égaux (le rapport de la freq d'une note à celle du demi-ton précedent est une constante, entre autres propriétés), i.e. celle qu'on utilise aujourd'hui à peu de chose près (par ex. les aigus du piano sont accordés plus aigus que l'équation en puiss de 2...), mais ce n'est PAS celle qu'on utilisait à l'époque de Bach. Qui n'était pas complètement issue non plus des harmoniques naturels ideaux (points rouges) comme j'essaie de l'expliquer, mais issue d'autres compromis.

[WhyHey]

Un vieux post sur ce sujet passionnant ...
http://www.homecinema-fr.com/forum/view ... #167716148

"le probleme c'est que la regle en question est incoherente car 2^7 (7 octaves) n'est pas égale à 1,5^12 (12 quintes) or il y a bien 12 quintes dans 7 octaves !! "

donc en fait les musiciens n'ont jamais été des matheux
Heureusement

Tcha

[SoulMan]

Voici ce dont je parlais :


"Ce graphe représente les dissonances des notes de l'octave lorsqu'elles sont jouées en même temps que le do. La ligne horizontale représente consonance maximale. Les intervalles naturels correspondent aux plus faibles valeurs de la dissonance ainsi que la gamme tempérée à découpage en intervalles égaux.
Cette courbe a été établie par Helmholtz (acousticien du XIX°S)."

Cependant on peut lire dans cet article d'un mathématicien contemporain qui s'est bien penché sur le problème (puisque si vous allez voir son site, il propose carrément un modèle mathématique permettant l'expression et l'évaluation des différents tempéraments).
http://www.aei.ca/~plamothe/sonances.htm
Que les travaux de Helmholtz, et surtout les analyses que lui et ses successeurs ont fait de ces mesures sont discutables.

[GBo]

[...]
"le probleme c'est que la regle en question est incoherente car 2^7 (7 octaves) n'est pas égale à 1,5^12 (12 quintes) or il y a bien 12 quintes dans 7 octaves !! "
Donc en fait les musiciens n'ont jamais été des matheux
Heureusement
Tcha

Bonne remarque WhyHey, pourtant Pythagore était matheux, et c'est lui le chantre des quintes
justes à rapport de 3/2=1,5, ce qui rend le problème insoluble.
Trop puriste des chiffres et de la corde idéale...

Grâce au système à tempéraments égaux, ça marche puisque tout en conservant le rapport 2 pour les octaves (aux nuances près des règles d'accord instrumental!), le rapport de quinte n'est que très légèrement raboté, de façon franchement inaudible (pour la quinte du moins!): rapport de 1.498... au lieu de 1,5, calculé par 2^(7/12), avec 7 parce que 7 demi-tons pour arriver de do à sol (ou de ré à la etc...), suivant la formule magique.
Et là on a bien, très exactement, en comparant 12 quintes et 7 octaves:
(2^(7/12))^12= (2^(12/12))^7
NB: lourdeurs d'écriture volontaires

cdlt,
GBo

[WhyHey]

Exact GBo !
parfois je me demande ce que pourrais donner une civilisation où les notes se positionnent en base 10 ou 2 plutot que 7 et 12.
D'ailleurs, pourquoi 7: 7 planétes, 7 jours, 7 notes
12: 12 mois, 12 zodiaques, 12=3*4 ...

allez je sors, vais me vriller les tympans

Tcha

[GBo]

Il y a des tas de civilisations qui n'utilisent pas nos douze demi-tons à rapport égaux pour leur musique traditionnelle. Et c'est très écoutable même par nous, avec un peu d'effort au début. Qu'ils aient une approche plus naturelle, je demande à voir, pour moi une fois une convention prise, un compromis adopté, c'est la culture fait son oeuvre.
Car il apparait que l'un des seuls consensus humain en musique concerne l'octave juste, rapport de 2 en fréquence donc, et pour ma part je chercherais vers le fonctionnement de l'oreille interne plutôt que vers la numérologie pour expliquer cela!

[SoulMan]

L'article http://www.aei.ca/~plamothe/sonances.htm va dans le même sens que toi.
Pour ce qui est des conventions, et les autres structures de découpage de l'octave, effectivement, chaque civilisation a développé son/ses mode(s). Et j'en profite pour rebondir, et revenir sur le sujet qui m'a emmené a poser ces questions, à savoir la musique Indienne. En effet, la musique classique indienne reconnaît 22 shrutis (et même jusqu'à plus de 80 shrutis suivant les écoles) dans l'octave. Shrutis pas choisis au hasard (cf cette analyse mathématique : http://www.aei.ca/~plamothe/india.htm ). Et Parmi ces 22 shrutis de base, on crée des modes à 7 notes, ce qui nous fait au final 77 modes de base (~= ragas), 7 modes principaux, avec 11 altérations différentes de ces 7 modes. On retrouve quasiment tous les modes des musiques orientales et occidentales dans ces 77 modes.
Enfin, la quasi totalité des instruments indiens n'ayant pas de notes fixes (comme le violon), une part importante de l'art du raga est dans le chemin (détours, notes évitées, mais pouvant être suggérées...) que l'artiste va emprunter pour aller d'une note à une autre.
Je trouve fascinant l'idée de continuité dans le son qu'ils ont développé.
De plus le raga se joue accompagné d'une Tampura qui sert à rappeler inlassablement la tonique et la quinte du mode joué. Enfin, le Sitar, le Bin ainsi que d'autres instruments possèdent des cordes sympathiques et des bourdons qui sont là pour rappeler, tout au long du morceau, tonique, quinte, quarte...
Tout ceci expliquant pourquoi cette musique est si douce a l'oreille.

[WhyHey]

pour ma part je chercherais vers le fonctionnement de l'oreille interne plutôt que vers la numérologie pour expliquer cela!

ça c'est intéressant ...
cette question est aussi classique que l'oeuf et la poule: est-ce la "nature" qui positionne certaines entités remarquables comme correspondant à un nombre (pi, 2, e = nbr d'or ...) ou avons nous façonner les nombres sur la nature ou les deux (nombre et nature) sont transcendant ou immanent ???
Pour ma part, j'ai toujours pensé que les nombre sont une construction humaine qui permet de reproduire le naturel et non de l'expliquer; dit autrement, le nombre "n'existe" pas pour lui-même et hors de tout, il reflete; dit autrement, une équation ne s'écrit avec des nombres que parceque les nombres ont été construits pour écrire cette équation

D'ailleurs, je me suis souvent dit qu'il serait intéressant de construire une "octave" sur le nbr d'or (par exemple) plutot que sur 2, mais nous sommes trop "conditionnés" (pour rejoindre un autre topic) pour reconstruire l'oreil avec ces valeurs.
Inversement, un instrument génère obligatoirement en plus de la fréquence pure jouée (fondamentale), une multitude d'autres, dont les multiples (ou sous-multiples) de la fondamentale: pourquoi ? pourquoi multiple et pas 5/3 ou pi ou e ? je veux dire pourquoi "2" ? certainement pas parceque les équations qui permettent de calculer le comportement d'une corde vibrante n'accèpte que 2 (ou les multiples ou sous multiples) comme valeur, non car ces équations n'existent que pour reproduire le "2 naturel".

D'ailleurs, ce qui est vrai pour la corde l'est-il pour une trompette, ou une caisse claire ? quelles sont les "harmoniques naturelles" de ces instruments ?

Comme toi SoulMan, j'attends beaucoup des recherches autour de ces nouvelles "valeurs" mais la soupe des nos bacs à CD ne vont pas dans ce sens: le Boliwood (orthographe approximative ...) est un exemple bien triste de la réalité de ces "nouvelles valeurs".

Je trouve fascinant l'idée de continuité dans le son qu'ils ont développé.

Cornemuse !! envoutant

Tcha

[SoulMan]

WhyHey, je pense que ta vision des mathématiques est erronée, et je ne suis pas capable de te le démontrer, mais pour avoir vu ce genre de discution tenue sur le forum de futura-sciences, l'indépendance que les mathématiques ont du réel ne semble pas à démontrer. D'ailleurs quantité d'objets mathématiques n'ont pas d'équivalent concret.

Le 2 est le double du 1, je pense que c'est indiscutable. L'octave a été déterminée bien avant qu'on connaisse les phénomènes électromagnétiques et ondulatoires. Donc, le fait qu'il y ait un rapport de 2 dans une octave ne proviens pas d'une décision arbitraire de mathématiciens qui aiment les chiffres piles. C'est plus une constatation naturelle.

De plus, tout ce que j'ai pu lire jusqu'à maintenant sur d'autres cultures musicales, me porte à croire que toutes ont adopté l'octave. Ce qui laisse penser que l'octave est naturelle, et ce indépendamment de l'origine culturelle.

Ensuite, on peut constater scientifiquement que cet octave correspond à un rapport de 2 dans les fréquences, et que donc, ces fréquences se recoupent avec une régularité maximale quand elles sont émises conjointement.

Que l'harmonie entre ces sons soit due a un traitement physiologique de l'oreille et sûrement plus de la partie du cerveau qui traite les sons est très probable. L'évolution biologique tend à produire (ou sélectionner, ce n'est pas le sujet) des êtres adaptés à leur milieu, on peut donc penser que c'est cette adaptation que est directement responsable de notre perception subjective des harmoniques, peut être parce que toute vibration produit des harmoniques et que donc naturellement des sons en harmonie doivent provenir d'une même origine et être interprétés comme complémentaires, alors que des sons en disharmonie doivent être interprétés comme provenant de sources différentes.

Le graphe que j'ai montré un peu plus haut montre également l'existence physique d'autres rapports comme la quinte, la sixte...

Sinon, heureusement que la musique indienne n'est pas Bolywood... tout comme le cinéma... (quoique ) Il y à des choses merveilleuses dans la musique indienne, et dans les musiques du monde en général d'ailleurs, et il faut savoir bien chercher dans les bacs à CD Le label Network par exemple (dont je viens de parler dans le fil Cd coup de coeur--mois d'aout ) dégote de véritables merveilles de partout dans le monde.